Ein Tag mit Pythagoras - Mathe 1

Der goldene Schnitt - Konstruktion

Die Strecke AB soll durch den Punkt T so geteilt werden, daß das Verhältnis der kleineren Strecke AT zur größeren Strecke BT genauso groß ist wie das Verhältnis der größeren Strecke BT zur Gesamtstrecke AB, was "harmonisch" geteilt heißt.

Wir errichten zunächst im Punkt A eine Senkrechte zur Strecke AB und tragen darauf die Hälfte der Streckenlänge von AB ab. So entsteht C. Wir zeichnen einen Kreisbogen um C mit dem Radius AC, es entsteht mit der Verbindungslinie BC ein weiterer Punkt D. Jetzt zeichnen wir einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius BD. Auf der Strecke AB entsteht ein Punkt T. Wir behaupten: Dieser Punkt T teilt die Strecke AB harmonisch :

bzw.:

Um diese Behauptung zu beweisen, führen wir die darin enthaltenen Streckenlängen auf die drei Strecken AB, BC und AC zurück, und zwar entsprechend unserer Konstruktionsvorschrift.

AT = AB – BT = AB – BD = AB – (BC – DC) = AB – (BC – AC) = AB – BC + AC

BT = BD = BC – DC = BC – AC = BC – 1/2AB

Diese Streckengleichheiten ergeben sich aus der gewählten Konstruktion. Wir setzen diese nun in die Behauptung ein.

Ausklammern auf der linken Seite und binomische Formel auf der rechten bringt:

Jetzt bringen wir fast alles auf die linke Seite, übrig bleibt nur:

Für das eine AB setzen wir nun einfach 2AC ein, je nach Bedarf eben:

Und da haben wir ihn, den allseits bekannten und beliebten SATZ DES PYTHAGORAS,

den wir an dieser Stelle nicht beweisen, sondern nur noch einmal in Erinnerung rufen.

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Da wir mit einem rechten Winkel angefangen haben, zu konstruieren, ...

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